някой от едновремешните учЕни беше казал "само целите положителни числа са ни от бога,другото сме си го измислили"
все пак, за да разнообразим темите малко да поразчепкаме тая работа с комплексните числа, за който му е интересно, понеже знам че едва ли даскалите са ви го разказали по тоя начин.
и така, мащехата природа много често сервира ситуации, в които промяната на дадена величина е обвързана по някакъв начин със самата и стойност. в най-простия случай промяната е твърдо свързана със стойността (например броя новозаразени за един ден е пропорционален на броя заразени до момента), след короната едва ли има човек дето не знае как се нарича това поведение - "експоненциален ръст",записа на релацията е dy=k*y*dt а функцията е y=y0*exp(k*t). експонентата се появява не само при "права" зависимост между величината и промяната и, но и при "обратна" зависимост, например в тоалетното казанче (това е по-интересната част). при него скоростта на увеличаване на водата намалява със нивото (записа на релацията е dy=k*(A-y)*dt, и това води пак до експонента, но обърната с главата надолу y=A*(1-exp(-kt)). дали обаче тая релация точно описва тоалетното казанче? начинаещите наивни инженерчета очакват точно такова поведение от творенията си, но изненадващо понякога това не се случва, парни котли експлодират, атомни централи се взривяват, изобщо творението се държи "не както трябва по теория". разбира се причината е не в теорията,а в инженерчето, описанието на тоалетното казанче с горната релация има "дребен" пропуск, който при други подобни системи може да се окаже не чак толкова "дребен" - и това е масата на поплавъка. в тоя модел упростенчески се допуска че позицията на поплавъка е точно колкото е на водата, което строго погледнато е невярно, поплавъка има инертност, и съвсееем леко изостава от водата. за тоалетно казанче това е толкова нищожно, че може да се пренебрегне, но за други подобни системи, където се гони максимална възможна бързина това лееекинко изоставане може да се окаже критичен проблем. не само защото "яде" от бързината, а защото променя релацията по начин, който води до коренно различно поведение и дори може да доведе до разрушаване на системата. добре, нали за това ни е математиката, да си описваме нещата с каквато прецизност искаме. поплавъка има маса, чудесно, това също подлежи на математически запис. как трябва да променим записана горната релация, за да се прецизира така че да отчита масата на поплавъка ами не е много сложно dy=k*(A-h)*dt където вече h не е нивото на водата, а позицията на поплавъка. и понеже самата тая позиция зависи от нивото на водата, трябва да запишем и тази зависимост, а тя е d^2h=B*(y-h)*dt^2, което на човешки език се превежда като "ускорението на поплавъка е пропорционално на разликата между позицията му и водното ниво". ако разгледаме тая релация сама за себе си при фиксирано водно ниво релацията е много подобна на горната, само в единия случай е "скоростта" а в другия "ускорението". при положителна релация поведението е съвсем същото, все тая скорост или ускорение, резултата е експонента (разликата в множителя отпред k срещу k^2). при отрицателна релация обаче нещата са съвсем други, вместо обърната експонента получаваме синусоида. предполагам че всеки който помни поне малко от математиката ще се сети защо това е така - защото ускорението е втора производна (скорост на скоростта), а синуса има втора производна също синус, но със минус отпред. това само по себе си е доста забележително, двете релации водят до еднакво поведение при положителния си вариант, но съвсем различно при негативния вариант. някак си това си плаче да бъде генерализирано, обаче освен чисто интелектуалските копнежи за генерализация, има и чисто практически, все пак двете релации действат в изолиран вид само в чисти крайни случаи (идеално махало и идеално тоалетно казанче), реално винаги действа в някаква смес (понякога много сложна), какво става тогава, как да сметнем поведението? със компютърна симулация човек блажено като свети августин може да прескочи всички тия глупости и да получи поведението на системата направо на филмче, но навремето не е имало компютри и е било от много голяма важност да може да се изчисли някак какво ще се случи,защото парни котли гърмят, хора умират - трябвало е да го измислят на хартия. ключовото наблюдение позволяващо тези неща да се смятат лесно е това че експонентата и синусоидата имат едно общо важно свойство на производните си - коефицента "вътре" излиза отпред, а функцията остава "същата". това позволява вместо сложни диференцирания и интегрирания просто да умножаваме и делим. вместо диференциални уравнения решаваме алгебрични, при липса на компютри това е огромно улеснение. и все пак, нещата не са баш еднакви, синуса има първа производна косинус, и чак втората му е пак синус НО със знак минус отпред. ето тук идва ключовия момент който води до комплексните числа - можем да ползваме алгебрични уравнения вместо диференциални, АКО тоя минус дето излиза отпред при синуса е резултат от вдигането на квадрат на вътрешния множител. имаш ли такава алгебра, експонентата и синуса стават една и съща функция, и можеш да сведеш бъркоча от горните две релации до прости алгебрични уравнение. ключа към тая алгебра е дефинирането на правило за произведение такова че да можеш да получаваш отрицателни реални числа при вдигане на квадрат на "обобщените" числа. ето как липсата на компютри води до появата на "измислените" числа, които студентите с право ненавиждат